Title:
Mathematical teaching aid
Kind Code:
A1


Abstract:
The seven shapes for the teaching aid are cut from a basic square by linking the mid points (M1,M2) of two opposite sides with opposite corners (A,C) and by taking the orthogonal cuts from these lines to the other corners (D,B). The cuts leave a small square (IV) in the centre and two identical trapeziums (III) as well as two pairs of right angled triangles (I and II) with the dimensions of one triangle (II) twice that of the other (I).The square and the trapeziums can be made up of triangles similar to the smaller triangle. The shapes can be assembled into different combinations representing different mathematical problems. They can be cut from wood or plastics and can be assembled with simple fastenings.



Inventors:
SCHUETZ KLAUS HENNING (DE)
Application Number:
DE4440893A
Publication Date:
06/05/1996
Filing Date:
11/17/1994
Assignee:
SCHUETZ, KLAUS HENNING, 51429 BERGISCH GLADBACH, DE
International Classes:
G09B23/02 (IPC1-7): G09B23/04
Domestic Patent References:
DE2749709A1N/A
DE8411906U1N/A



Claims:
1. Lehrmittel für den Mathematikunterricht, gekenn­zeichnet durch durch sieben zu einem Quadrat Q zusammensetzbaren flächigen Teilen, die aus zwei ersten gleichen, rechtwinkligen Dreiecken I, zwei zweiten gleichen, rechtwinkligen Dreiecken II, die größer als die Dreiecke I und diesen ähnlich sind, zwei gleichen Trapezen III und einem Quadrat IV bestehen, wobei die Teile gebildet werden durch Schnitte längs der Verbindungen zwischen den Mittelpunkten M£, M¥ zweier gegenüberliegender Seiten des Quadrates Q und den jeweils gegenüberliegenden Eckpunkten A, C des Quadrates Q sowie der jeweiligen Lote dieser Verbindun­gen auf die entfernter liegenden restlichen Eckpunkte B und D des Quadrates Q, wobei sich weiterhin die Län­gen der Katheten a, b bzw. q, h der ersten und zweiten Dreiecke I bzw. II verhalten wie 1 : 2 bzw. der kleinste Winkel der ersten und zweiten Dreiecke I und II die Größe arctan 0,5 hat.

2. Lehrmittel nach Anspruch 1, dadurch ge­kennzeichnet, daß die Dreiecke II, die Tra­peze III und/oder das Quadrat IV ganz oder teilweise aus den Dreiecken I zusammengelegt oder zusammenlegbar sind.

3. Lehrmittel nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß die Dreiecke I aus weiteren, kleineren, ähnlichen Dreiecken zusammenge­setzt oder zusammensetzbar sind.

4. Lehrmittel nach einem der Ansprüche 1 bis 3, ge­kennzeichnet durch einen quadrati­schen Rahmen (1) mit den inneren Seitenlängen a + b.

5. Lehrmittel nach einem der Ansprüche 1 bis 3, ge­kennzeichnet durch einen als recht­winkliges Dreieck ausgebildeten Rahmen (4), dessen Hypotenuse die Länge a + b und dessen Katheten die Längen h + p bzw. h + q aufweisen.

6. Lehrmittel nach einem der Ansprüche 1 bis 3, ge­kennzeichnet durch einen als Viereck ausgebildeten Rahmen (2), dessen innere Seiten die Längen a, a + b, p und h + c aufweisen.

7. Lehrmittel nach einem der Ansprüche 1 bis 3, ge­kennzeichnet durch einen aus drei Quadraten zusammengesetzten Rahmen (3), die die Seiten­längen a, b und |•lu,4,,100,5,1–(a¥+b¥)•lu– bzw. q,h und |•lu,4,,100,5,1–(q¥+h¥)•lu– aufweisen, wobei sich die Quadrate mit einer Seite an die entspre­chenden Seiten eines Dreiecks I bzw. Dreiecks II an­schließen.

8. Lehrmittel nach einem der Ansprüche 1 bis 7, da­durch gekennzeichnet, daß die Teile und/oder Rahmen (1) bis (4) durch unterschiedliche Farbgebung und/oder Beschriftung bzw. die Seiten der Teile und/oder Rahmen (1) bis (4) durch unterschiedli­che Farben und/oder Beschriftungen voneinander unter­scheidbar sind.

9. Lehrmittel nach einem der Ansprüche 1 bis 8, da­durch gekennzeichnet, daß die Kanten der Teile und/oder Rahmen (1) bis (4) nach Art eines Zeichenlineals abgeflacht ausgebildet sind und/oder eine Skaleneinteilung tragen.

10. Lehrmittel nach einem der Ansprüche 1 bis 9, da­durch gekennzeichnet, daß die Teile und/oder Rahmen (1) bis (4) einseitig Abstandsnoppen aufweisen.

Description:
Die Erfindung betrifft ein Lehrmittel für den Mathematik­unterricht. Bei der Vermittlung von grundlegenden algebraischen oder geometrischen Gesetzmäßigkeiten, wie z. B. binomischen For­meln oder geometrischen Beziehungen bei Dreiecken, Quadraten oder Trapezen, ist es für die Schüler häufig sehr schwer, die Herleitung der entsprechenden Verknüpfungen nachvoll­ziehen zu können, da hierzu ein erhebliches mathematisches Abstraktionsvermögen erforderlich ist. Die mathematischen Beziehungen werden von den Schülern daher passiv auswendig gelernt, so daß es bei der späteren selbständigen Anwendung dieser Gesetzmäßigkeiten zu Problemen kommt. Um die entspre­chenden Formeln selbständig anwenden zu können, ist vielmehr ein aktives Verstehen erforderlich, so daß der Schüler diese Formeln selbständig herleiten und begreifen sollte. Da die grundlegenden mathematischen Zusammenhänge häufig relativ jungen Schülern vermittelt werden müssen, besteht demzufolge die Gefahr, daß das Lehrfach Mathematik als schwer verständlich, uninteressant und schwierig empfunden und einer späteren Beschäftigung mit diesem Fach möglichst aus dem Wege gegangen wird. In der Pädagogik hat sich die Auffassung durchgesetzt, daß schwer verständliche Zusammenhänge möglichst bildhaft ver­anschaulicht werden sollten, da diese dadurch besser ver­standen werden können. Die Fähigkeit, bildhaft logische Verknüpfungen begreifen zu können, ist gerade heutzutage durch den Konsum von Bilder benutzenden Massenmedien relativ gut ausgeprägt. Ein weiteres pädagogisches Ziel im modernen Unterricht ist es auch, die Schüler unter Ausnutzung bzw. Anregung des Spieltriebes zum Verstehen von logischen Verknüpfungen zu führen. Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Lehrmittel für den Mathematikunterricht zu schaffen, mit dem grundlegende mathematische Gesetze leichter verständlich gemacht werden können. Diese Aufgabe wird durch sieben zu einem Quadrat Q zusammen­setzbaren, flächigen Teilen gelöst, die aus zwei ersten gleichen, rechtwinkligen Dreiecken I, zwei zweiten, gleichen, rechtwinkligen Dreiecken II, die größer als die ersten Dreiecke I und diesen ähnlich sind, zwei gleichen Trapezen III und einem Quadrat IV bestehen, wobei die Teile gebildet werden durch Schnitte längs der Verbindungen zwischen den Mittelpunkten M£, M¥ zweier gegenüberliegender Seiten des Quadrates Q und den jeweils gegenüberliegenden Eckpunkten A, C des Quadrates Q sowie der jeweiligen Lote dieser Verbindungen auf die entfernter liegenden, restlichen Eckpunkte B, D des Quadrates Q, wobei sich weiterhin die Längen der Katheten q, b bzw. b, a der ersten und zweiten Dreiecke I, II verhalten wie 1 : 2 bzw. der kleinste Winkel der ersten und zweiten Dreiecke I, II die Größe arctan 0,5 hat. Die mit den erfindungsgemäßen Merkmalen ausgestatteten Teile sind vorzugsweise als flächige Kunststoffstanzteile oder Holzteile hergestellt und können an ihren Seiten abgeflachte Kanten aufweisen, so daß diese nach Art eines Lineals zum Zeichnen verwendet werden können. Die einzelnen Teile kön­nen, beispielsweise durch unterschiedliche Farben, Bezeich­nungen oder Skalen gekennzeichnet sein, so daß sie leicht voneinander zu unterscheiden sind. Bei der Beschäftigung mit dem erfindungsgemäßen Lehrmittel wird zunächst der Spieltrieb der Schüler dadurch angeregt, daß sich dieses durch geschicktes Kombinieren, Verschieben und Verdrehen zu einem Quadrat oder anderen geometrischen Figuren nach Art eines Puzzles zusammensetzen läßt. Bereits durch diese spielerische Beschäftigung mit den Teilen werden zwangsläufig geometrische Gesetzmäßigkeiten veranschaulicht, da beispielsweise ein Zusammenfügen der Teile zu einem Qua­drat immer nur nach einem bestimmten, erlernbaren Schema möglich ist. Es sei im übrigen erwähnt, daß die einzelnen Teile des Lehr­mittels über die Merkmale des Anspruchs 1 hinaus eine weite­re Gemeinsamkeit haben. Die größeren zweiten Dreiecke II, die Trapeze III und das Quadrat IV lassen sich nämlich eben­falls aus einer entsprechenden Anzahl von ersten Dreiecken I zusammenfügen, wobei auch diese wiederum durch kleinere, ähnliche Dreiecke zusammengesetzt werden können. Um den Schülern ein Hilfsmittel zum gezielten, enaktiven Erlernen der unterschiedlichen mathematischen Gesetzmäßig­keiten zur Verfügung zu stellen, werden erfindungsgemäß Rahmen mit freigeschnittenen inneren Flächen verwendet, die jeweils zur Herleitung und zum Verstehen bestimmter Formeln verwendet werden. So wird beispielsweise zur Veranschau­lichung der binomischen Formeln ein quadratischer Rahmen mit einer quadratischen Freifläche verwendet, dessen innere Seitenlänge a + b beträgt. Zur Herleitung des Höhensatzes kann ein Rahmen verwendet werden, dessen innere freige­schnittene Fläche als rechtwinkliges Dreieck ausgebildet ist, dessen Hypotenuse die Länge a + b und dessen Katheten die Längen h + p bzw. h + q aufweisen. Zur Veranschaulichung des Kathetensatzes kann ein weiterer Rahmen verwendet werden, dessen innere Freifläche als Vier­eck ausgebildet ist und dessen innere Seiten die Längen a, a + b, p und h + c aufweisen. Zur Herleitung des Satzes des Pythagoras kann schließlich ein aus drei Quadraten zusammengesetzter Rahmen verwendet werden, die jeweils die Seitenlängen a, b und |•lu,4,,100,5,1–(a¥+b¥)•lu– bzw. q, h und |•lu,4,,100,5,1–(q¥+h¥)•lu– aufweisen. Die Quadrate sind entsprechend des Phythagoräischen Lehrsatzes jeweils entsprechend an den Seiten eines rechtwinkligen Dreieckes angeordnet. Wie bereits erwähnt, sind die vorzugsweise aus Kunststoff bestehenden Teile und/oder Rahmen zumindest teildurchsichtig und durch unterschiedliche Farbgebung oder Beschriftung voneinander unterscheidbar. Aus diesem Grunde lassen sie sich auch sehr leicht mit Hilfe von Overheadprojektoren vergrößern bzw. wiedergeben. Die Kanten der Teile können nach Art eines Lineals mit Markierungen oder Skalen ausge­stattet sein, weiterhin können sie einseitig Abstandsnoppen tragen, so daß mit ihnen auch Tuschezeichnungen oder der­gleichen angefertigt werden können. Mit den erfindungsgemäßen Teilen lassen sich nicht nur die erwähnten Formeln herleiten und veranschaulichen, vielmehr können darüber hinaus auch kompliziertere mathematische Beweise geführt werden. Z. B. ist es möglich, die Gesetz­mäßigkeiten des goldenen Schnittes oder die der Strahlen­sätze anschaulich zu machen. Die Erfindung wird an Hand der nachfolgenden Anwendungsbei­spiele für den Mathematikunterricht in Verbindung mit den Zeichnungsfiguren beispielsweise verdeutlicht. Die Zeich­nungsfiguren zeigen Fig. 1 ein Quadrat Q, zu dem die sieben Teile IäIV zu­sammengesetzt werden können, Fig. 2 bis Fig. 4b Unterrichtsbeispiele zur Veranschaulichung der binomischen Formeln, Fig. 5a bis 9b Beispiele zur Veranschaulichung des Satzes des Pythagoras, Fig. 10a bis 11 Darstellungen zur Veranschaulichung des Höhensat­zes des Euklid, Fig. 11 bis 12e Darstellungen zur Veranschaulichung des Katheten­satzes des Euklid, Fig. 13 eine Veranschaulichung, die den Zusammenhang zwi­schen den Flächensätzen verdeutlicht, Fig. 14a und 14b Darstellungen zur Verdeutlichung von Flächenver­wandlungen, Fig. 15 bis 16b Veranschaulichungen des goldenen Schnittes, Fig. 17 Veranschaulichung der Flächenformel für ein belie­biges Dreieck, Fig. 18 Veranschaulichung der Flächenformel für ein Par­allelogramm, Fig. 19 Veranschaulichung der Flächenformel für eine Rau­te, Fig. 20 Veranschaulichung der Flächenformel für ein Dra­chenviereck, Fig. 21 Veranschaulichung der Flächenformel für ein Tra­pez, Fig. 22 Veranschaulichung der Strahlensätze, Fig. 23 bis Fig. 26 zeigen schematisch die als Hilfsmittel verwendba­ren Rahmen 1 bis 4. Zu den Figurenzeichnungen sei bemerkt, daß die im Unter­richtsvorschlag angegebenen Längen nicht maßstabsgetreu denen der Zeichnungen entsprechen und gleiche Benennungen unterschiedliche Punkte und Strecken bezeichnen können. Das erfindungsgemäße Lehrmittel für den Mathematikunterricht ist nach Art eines Legespiels oder Puzzles auf einer flächi­gen Unterlage aus den einzelnen Teilen zusammenzulegen. Die einzelnen Teile I bis IV lassen sich gemäß Fig. 1 zu einem Quadrat Q zusammenlegen bzw. aus einem derartigen Quadrat Q herstellen. Konstruktionsanweisung:ä markiere die Mittelpunkte M£ bzw. M¥ zweier gegenüber­liegender Seiten,ä zeichne die Strecken CM£ und AM¥,ä fälle die Lote von D auf Strecke CM£ und von B auf Strecke AM¥.Bemerkung Durch die obige Konstruktion bedingt verhalten sich die Katheten der Dreiecke I und II wie 1 : 2. Aus praktischen Gründen werden folgende Abmessungen für diese Katheten vorgeschlagen: a = 2,5 cm, b = 5 cm. Mit diesen Abmessungen lassen sich die meisten Konstruktio­nen gut auf einem Blatt Papier im DIN A 4 Format durchfüh­ren.1.Die binomischen Formeln Die binomischen Formeln werden algebraisch durch Ausmulti­plizieren von Klammern hergeleitet. Mit Hilfe des Puzzels können sie gut veranschaulicht werden. Material:ein Rahmen 1zwei Dreiecke Izwei Dreiecke IIzwei Trapeze IIIein Quadrat IV.Aufgabe 1 Erläutere die erste binomische Formel an Fig. 2|Lösung: Man liest sofort ab:(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (1. binomische Formel). Erkenntnis: Produkte entsprechen den Flächen der Rechtecke bzw. Quadrate. Im selben Rahmen 1 werden die Teile I bis IV entsprechend Fig. 3 angeordnet.Aufgabe 2 Welche Kantenlänge hat das Quadrat IV?Man erhält dieselbe Quadratfläche auch dadurch, daß man von dem Gesamtquadrat vier Rechtecke wegnimmt. Leite auf diese Weise die zweite binomische Formel her|Lösung In Fig. 3 hat das Quadrat IV die Kantenlänge aäb und die Fläche (aäb)2. Man erhält dieselbe Fläche, indem man von dem Gesamtquadrat vier Rechtecke wegnimmt:(a+b)2 ä 4ab = a2 + 2ab + b2 ä 4ab = a2 ä 2ab + b2also: (aäb)2 = a2 ä 2ab + b2 (2. binomische Formel). Zusatzfrage: Welche Fläche wird von den Puzzleteilen bedeckt?Antwort: Man erhält die gesuchte Fläche, indem man von dem Gesamtquadrat vier Dreiecke wegnimmt:(a+b)2 ä 4 ± ½ ab ä a2 + b2.(vgl. Satz des Pythagoras).Aufgabe 3 Lege den Rahmen 1 und die Puzzleteile auf ein Blatt Papier und zeichne sie auf wie in Fig. 4a| (Die Kanten der Puzzle­teile können dabei wie ein Lineal benutzt werden.) Trage auch die angegebenen Bezeichnungen ein| Welche Fläche wird nun von den Teilen bedeckt?Zeige Die Teile können außerhalb des Rahmens zu einem Rechteck zusammengefügt werden (auf zeichnen). Welchen Flächeninhalt hat dieses Rechteck?Ergebnis Fig. 4a zeigt eine Fläche a2 ä b2. Durch Verschieben eines Teilrechtecks entsteht das Rechteck mit den Seiten a+b und aäb (Fig. 4b). Also: a2 ä b2 = (a+b) ± (aäb) (3. binomische Formel).2.Die Satzgruppe des Pythagoras2.1 Satz des PythagorasAufgabe 1 Die Dreiecke können so angeordnet werden, daß anstelle der beiden freibleibenden Quadrate nur ein einziges Quadrat im Rahmen 1 freibleibt (Fig. 5a). ä Führe dies durch. Was läßt sich über den Flächeninhalt dieses Quadrats sagen? Ergebnis: Fig. 5b. Der Flächeninhalt des neuen Quadrats ist die Summe der Flä­cheninhalte der vorherigen Quadrate (Flächensubtraktion).Aufgabe 2 Zeichne ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck ABC und be­zeichne die Seiten wie üblich mit a,b,c (Fig. 6). Wie groß muß der Rahmen gewählt werden, damit darin die Flächenverwandlung entsprechend Aufgabe 1 durchgeführt wer­den kann? Welche Flächeninhalte haben dann die freibleibenden Quadra­te?Ergebnis Der Rahmen hat die Kantenlänge a+b, die Quadrate in der Ausgangslage haben die Kanten a bzw. b und das neue Quadrat hat die Kantenlänge c, nach Aufgabe 1 gilt:c2 = a2 + b2 (Satz des Pythagoras).Bemerkung Der Beweis kann mit Fig. 5b auch rechnerisch durchgeführt werden. Dazu werden die Teile zu einem Gesamtquadrat mit der Kantenlänge a+b aneinandergefügt, darin wird durch die Hypo­tenusen der Dreiecke ein Quadrat mit der Fläche c2 gebildet. Die Gesamtfläche berechnet sich somit zu:(a+b)2 ä c2 + 4 ± ½ aba2 + 2ab + b2 = c2 + 2abalso: a2 + b2 = c2 (q.e.d.).Zusammenfassung Nach Aufgabe 2 ist der gefundene Zusammenhang nicht von der speziellen Größe der Puzzleteile abhängig. Für beliebige rechtwinklige Dreiecke gilt:a2 + b2 = c2 (Satz des Pythagoras). Dieser Satz läßt sich mit Hilfe des Puzzels einprägsam ver­anschaulichen.Aufgabe 3 In Fig. 7a sind für ein rechtwinkliges Dreieck die Katheten­quadrate und das Hypotenusenquadrat bereits eingezeichnet.Aufgabe Zeige, daß die fünf Puzzleteile (zwei Dreiecke I, zwei Drei­ecke II und das Quadrat IV) sowohl das Hypotenusenquadrat c2 als auch die Kathetenquadrate a2 und b2 füllen. Ergebnis: Fig. 7b. Bei geeigneter Lerngruppe bietet sich hier folgende Vertie­fung an:Aufgabe 4 In Fig. 8a haben die Quadrate eine andere Größe als bei dem Puzzle. Zeige mit dieser Figur: Satz: Zwei beliebige Quadrate lassen sich durch gerade Schnitte stets so in fünf Teile zerschneiden, daß man diese zu einem einzigen Quadrat zusammenfügen kann. Wie konstruiert man den Punkt P?Ergebnis Fig. 8b wegen Strecke DP = Strecke PF liegt P auf der Mit­telsenkrechten zur Strecke DF. Auch die Flächenverwandlung aus Aufgabe 4 kann mit unserem Puzzle veranschaulicht werden.Aufgabe 5 Zeichne die folgende Fig. (Fig. 9a) in entsprechender Größe auf ein Blatt Papier. Fülle die Quadrate mit den Puzzletei­len so, daß daraus durch Umlegen von drei Teilen das gestri­chelte Quadrat entsteht. Lösung: Fig. 9b.2.2 Höhensatz des Euklid Material:ein Rahmen 4 zum Höhensatzein Dreieck Iein Dreieck II.Regel Ein Dreieck wird stets so in den Rahmen eingepaßt, daßä eine Dreiecksecke mit einer Ecke des Rahmens zusammen­fällt;ä zwei Dreiecksseiten entlang der Rahmenkanten verlaufen. Nach obiger Regel lassen sich beide Dreiecke I und II derart in den Rahmen einpassen, daß genau eine zusammenhängende Fläche freibleibt.Aufgabe 1 Auf diese Weise entstehen verschiedene Vierecke und Fünf­ecke, darunter sind: ein Quadrat, ein Rechteck sowie mehrere Parallelogramme und Trapeze. Lege den Rahmen auf ein weißes Blatt Papier und, wenn Du ein derartiges Viereck gefunden hast, zeichne es auf| (Die Kanten der Puzzleteile können dabei wie ein Lineal benutzt werden.) Was läßt sich über den Flächeninhalt der verschiedenen For­men sagen?Ergebnis Aufgabe 11. Von jeder Figur sollte eine mit Hilfe eines Overhead­projektors demonstriert werden:Quadrat Fig. 10aRechteck Fig. 10dParallelogramm Fig. 10b, cTrapez Fig. 10e.2. Obwohl die freibleibenden Flächen ganz unterschiedliche Formen aufweisen können, muß der Flächeninhalt bei allen derselbe sein (Flächensubtraktion). Nun werden die Dreiecke I und II zu einem größeren recht­winkligen Dreieck ABC zusammengelegt (Fig. 11) und die übli­chen Bezeichnungen erläutert:Höhe hHypotenusenabschnitte p und q durch das Zerschneiden entlang der Höhe wird der 90°-Winkel wieder in die Teilwinkel zerlegt (ähn­liche Dreiecke).Aufgabe 2 Welche Seitenlängen ergeben sich mit diesen Bezeichnungen für das Quadrat und das Rechteck aus Aufgabe 1? Stelle eine Gleichung für die entsprechenden Flächeninhalte auf.Ergebnis Aufgabe 2 Es gilt: h2 = p ± q (Höhensatz des Euklid).Bemerkung Offensichtlich wurde hierbei nicht von der speziellen Größe der Puzzleteile Gebrauch gemacht. Ein beliebiges rechtwink­liges Dreieck kann auf diese Weise stets in zwei ähnliche Teildreiecke zerlegt werden, daher können wir den Beweis des obigen Satzes mit unseren Teilen veranschaulichen.ä Wir gehen aus von Fig. 10a (Quadrat h2),ä wir verschieben das Dreieck I und erhalten ein flächen­gleiches Parallelogramm gemäß Fig. 10b (Scherung),ä wir verschieben das Dreieck II und erhalten ein weite­res flächengleiches Parallelogramm Fig. 10c,ä durch erneutes Verschieben von Dreieck I erhalten wir das gewünschte Rechteck p ± q gemäß Fig. 10d.Zusammenfassung Für beliebige rechtwinklige Dreiecke gilt:h2 = p ± q (Höhensatz). Der Beweis läßt sich schon durch dreimaliges Verschieben führen (Scherung).2.3 Kathetensatz des Euklid Material:ein Rahmen 2ein Dreieck Izwei Dreiecke II. Ein Dreieck wird stets so in den Rahmen eingepaßt, daß min­destens eine Dreieckseite entlang der Rahmenkante verläuft.Aufgabe 1 Auf diese Weise lassen sich die drei Dreiecke derart in den Rahmen einpassen, daß genau eine zusammenhängende Fläche freibleibt. Welche Vierecke kannst Du auf diese Weise finden? Zeichne sie auf| Was läßt sich über den Flächeninhalt der verschiedenen Vier­ecke sagen?Ergebnis: man findetein Quadrat Fig. 12aein Rechteck Fig. 12bein Parallelogramm Fig. 12cein Trapez Fig. 12d. Der Flächeninhalt muß bei allen Vierecken derselbe sein (Flächensubtraktion). Nun werden die Dreiecke I und II zu einem größeren recht­winkligen Dreieck ABC zusammengelegt (Fig. 11) und die übli­chen Bezeichnungen erläutert:Höhe hHypotenusenabschnitte p und q durch das Zerschneiden entlang der Höhe wird der 90°-Winkel wieder in die Teilwinkel zerlegt (ähnliche Drei­ecke).Aufgabe 2 Welche Seitenlängen ergeben sich mit diesen Bezeichnungen für das Quadrat und das Rechteck aus Aufgabe 1? Stelle eine Gleichung für die entsprechenden Flächeninhalte auf|Ergebnis Aufgabe 2 Es gilt: a2 = p±c (Kathetensatz des Euklid).Bemerkung Offensichtlich wurde hierbei nicht von der speziellen Größe der Puzzleteile Gebrauch gemacht; ein beliebiges rechtwink­liges Dreieck kann auf diese Weise stets in zwei ähnliche Teildreiecke zerlegt werden, daher können wir den Beweis des obigen Satzes mit unseren Teilen veranschaulichen:ä wir gehen aus von Fig. 12a (Quadrat a2),ä wir verschieben die Dreiecke I und II und erhalten ein flächengleiches Parallelogramm gemäß Fig. 12c (Sche­rung),ä wir verschieben Dreieck II und erhalten das gewünschte Rechteck p ± c gemäß Fig. 12b. Wir richten nun unser Augenmerk auf das Parallelogramm, welches in Aufgabe 1 aufgezeichnet wurde (vgl. Fig. 12c). An Hand dieser Figur läßt sich einer der gebräuchlichsten Beweise zum Kathetensatz führen.Aufgabe 3 Fülle das Parallelogramm mit den sieben Puzzleteilen. Bezeichne die Seiten sowie die beiden Höhen gemäß Fig. 11 und berechne damit den Flächeninhalt F des Parallelogramms = p ± h auf zwei verschiedene Arten|Ergebnis: Fig. 12e.Grundseite c:Höhe pFParallelogramm = p ± c.Grundseite a:Höhe aFParallelogramm = a2. An Hand dieser Figur demonstriert man den folgenden Beweis:Das Parallelogramm läßt sich durch eine Scherung (Verschie­bung des rechten Dreiecks II) in ein flächengleiches Recht­eck p ± c überführen. Durch eine andere Scherung (Verschiebung der Dreiecke I und II unten) entsteht aus dem Parallelogramm das flächengleiche Quadrat a2.Zusammenfassung Für beliebige rechtwinklige Dreiecke gilt a2 = p ± c (Kathetensatz). Zum Beweis überführt man das Quadrat durch Scherung in ein Parallelogramm und dieses durch eine weitere Scherung in ein Rechteck.2.4 Zusammenhang zwischen den Flächensätzen Gemäß Fig. 13 gilt für das Dreieck BCD:a2 = h2 + p2 (Satz des Pythagoras). Für das Dreieck ABC wird der Kathetensatz veranschaulicht:a2 = p±c. An derselben Figur läßt sich darüber hinaus ein schöner Beweis für den Höhensatz führen, welcher den Zusammenhang zwischen den Flächensätzen verdeutlicht:h2 = a2 ä p2 = c±p ä p2 = p (cäp) = p±q (q.e.d.).2.5 Flächenverwandlungen Mit Hilfe der Flächensätze über rechtwinklige Dreiecke läßt sich ein Rechteck ABCD in ein gleich großes Quadrat verwan­deln. Mit unserem Puzzle demonstrieren wir eine Lösung der folgenden Grundaufgabe:Verwandle ein gegebenes Rechteck in ein inhaltsgleiches Quadrat|Konstruktionsanweisung: (vgl. Fig. 14a). Zeichne ein Rechteck ABCD mit Strecke AB = 10 cm und Strecke BC = 12,5 cm, verlängere die Strecke CD bis I so, daß Strecke IC = Strecke CB ist, zeichne den Halbkreis über der Strecke IC (Thaleskreis)| Die Gerade AC schneidet diesen in E. Zeichne das Quadrat CHGE| Zeige, daß sich mit den sieben Puzzleteilen sowohl das Rechteck ABCD als auch das Quadrat CHGE ausfüllen lassen| Begründe das Ergebnis mit dem Kathetensatz| Ergebnis der Grundaufgabe: Fig. 14b.Begründung: Betrachte das rechtwinklige Dreieck ICE, darin ist Strecke IC die Hypotenuse c, Strecke DC der Hypotenusenabschnitt p Strecke EC die Kathete a.3. Der goldene Schnitt Konstruktionsbedingt verhalten sich die Katheten der Drei­ecke I und II wie 1 : 2 (vgl. Fig. 1).ä in den Dreiecken I und II gilt für die kleinsten Win­kel: arctan 0,5 ê 26,6°ä wählen wir die Kante des Quadrats IV als Einheit, so ergeben sich folgende Seitenlängen:Dreieck I: a = 1, b = ½, c = ½ ±|•lu,4,,100,5,1–5•lu–Dreieck II: a = 2, b = 1, c = |•lu,4,,100,5,1–5•lu–ä die Dreiecke I und II bilden zusammen ein weiteres rechtwinkliges Dreieck:a = |•lu,4,,100,5,1–5, b•lu– = ½ ± |•lu,4,,100,5,1–5, c•lu– = 5/2h = 1, p = 2, q = ½(Dieses Dreieck und die Dreiecke 1 und 11 sind ähnlich)ä das Trapez III hat die Seitenlängen:a = 1, b = 1, c = ½ ± |•lu,4,,100,5,1–5, d•lu– = ½. In Fig. 15 gilt:Strecke AB = |•lu,4,,100,5,1–5 + 1•lu–, Strecke AP = |•lu,4,,100,5,1–5 Þ 1•lu– und damitStrecke AB : Strecke PB = Strecke PB : Strecke AP(|•lu,4,,100,5,1–5 + 1•lu–) : 2 = 2 : (|•lu,4,,100,5,1–5 Þ 1•lu–), d. h. die Strecke AB wird durch P harmonisch geteilt. Fig. 16a zeigt ein Rechteck mit besonders ansprechendem Größenverhältnis. Wenn man von diesem Rechteck ein Quadrat abschneidet, so hat das verbleibende Rechteck dieselbe Form wie das ursprüngliche, d. h. es ist a : b = b : (a ä b). Rechtecke mit dieser Eigenschaft heißen "goldene Rechtecke". Rechtecke dieser Art lassen sich mit unseren Teilen verdeut­lichen. In Fig. 16b gilt für das Gesamtrechteck (|•lu,4,,100,5,1–5 + 1•lu–) : 2 = 2 : (|•lu,4,,100,5,1–5 Þ 1•lu–). Auch das freibleibende innere Rechteck ist somit golden, es hat die Maße: 2 ± (|•lu,4,,100,5,1–5 Þ 1•lu–).4. Weitere Anwendungen Die Teile unseres Puzzels ä insbesondere die ähnlichen Drei­ecke I und II ä sind geeignet, weitere Formeln und Sätze zu verdeutlichen. Fig. 17 zeigt mittels Flächenverwandlung:a±b = g±h, für rechtwinklige Dreiecke gilt also ½ a±b = ½ g±h. Ebenso entnimmt man der Figur die Flächenformel für ein beliebiges Dreieck:FDreieck = ½ g±h.Bemerkung Wählt man in Fig. 17 die kurze Kathete des kleinen Dreiecks als Einheit, so ergeben sich für das Rechteck die Maße g = 5 LE, H = 2 LE und somit FRechteck = 10 FE. Mit Pythagoras ergibt sich a = |•lu,4,,100,5,1–5•lu– LE und b = 2|•lu,4,,100,5,1–5•lu– LE und für die Fläche berechnet man ab = |•lu,4,,100,5,1–5•lu– ± 2|•lu,4,,100,5,1–5•lu– = 10 FE. Das Produkt zweier irrationaler Zahlen kann also durchaus rational sein. Fig. 18 verdeutlicht das Prinzip der Scherung, daraus ergibt sich auch die Flächenformel für ein Parallelogramm:FParallelogramm = g±h. Fig. 19 liefert die Flächenformel für eine Raute:FRaute = ½ e±f. Fig. 20 liefert die Flächenformel für ein Drachenviereck:FDrachenviereck = ½ e±f. Fig. 21 liefert die Flächenformel für ein Trapez:FTrapez = ½ (a+c) ± h. An Fig. 22 lassen sich die Strahlensätze erläutern bzw. ableiten.Bezugszeichenliste1 Rahmen zur Veranschaulichung der binomischen Formeln bzw. des Satzes des Pythagoras2 Rahmen zur Veranschaulichung des Kathetensatzes3 Rahmen zur Veranschaulichung des Satzes des Pythagoras4 Rahmen zur Veranschaulichung des Höhensatzes.